电子学单位分贝 dB 的数学推导过程

分贝（dB，Decibel [ˈdesɪbel]）是一个用于衡量声压等级、信号功率强度的对数无量纲单位，该单位来源于美国的电话发明家贝尔 Alexander Graham Bell 的名字，是从贝尔（B，Bel）这个单位衍生而来（一贝尔等于十分贝 \(1Bel = 10dB\)），其最初被用于贝尔实验室长途电话线路损耗的计量，从而解决线性度量单位无法描述超过 \(10^{14}\) 数量级的信号强度问题，而后成为 声学、电子、通信 等领域的通用计量单位。

分贝并不是一个线性的绝对数值单位，其反映的是两个相同单位物理量的比值，在取对数之后分别再乘以 10（功率类参数，例如 声音功率、电功率）或者 20（场量类参数，声压、电压、电流、场强），其反映的是一个相对的数量级，而非一个绝对的数值。总而言之，由于分贝采用了对数 \(y = \log_a x\) 来作为单位的标度，因为而能够极大的压缩数值范围并且简化计算，同时也更加适配人类听觉以及信号传输的非线性感知特性。

声学当中的分贝

最常见的以分贝 dB 作为单位的声学参数是声压级（SPL，Sound Pressure Level），该参数能够压缩人耳所能感知的巨大动态范围，并且匹配人耳对声音强度的非线性感知特性，其计算公式如下面所示：

\[ SPL_{dB} = 20 \cdot \log_{10} \left( \frac{P_{实际声压}}{P_{人类听觉下限参考声压}} \right) \]

注意：人类听觉下限的参考声压通常为 20 μPa，即健康人耳在 1 kHz 频率声音下的听觉阈值。

功率比分贝公式

使用 分贝 dB 作为单位，可以将两个相同物理量的比值，转换为一个对数尺度上的值（通过压缩数值表达的动态范围，从而便于表达和计算），电子学当中可以使用该单位来表达 功率、电压、电流、增益、衰减 等参数，但是其原始定义主要是以功率比值来作为基准：

\[ \text{dB} = 10 \cdot \log_{10} \left( \frac{功率值 P_2}{功率值 P_1} \right) \]

注意：上述方程当中的功率值 \(P_2\) 称为被测物理量，而功率值 \(P_1\) 则被称作参考基准值。

关于对数函数的知识

在进一步介绍分贝单位的知识之前，先来温习一些初等代数的知识。初中课本当中将指数函数定义为如下的公式（其中 \(x\) 是自变量，\(a\) 是底数），该函数的 定义域 \(x \in R\)，而 值域 \(y > 0\)：

\[ y = a^x \quad (a > 0, \, a \neq 1) \]

上述这个指数函数，可以在转换形式之后，被定义为对数函数的形式，也就是数 \(y\) 被称作是以 \(a\) 作为底的 \(x\) 的对数。此时，这个对数函数的 定义域 \(x > 0\)，而 值域 \(y \in R\)：

\[ a^y = x（a>0, a\neq 1) \implies y = \log_a x \]

上述的指数函数和对数函数互为反函数，它们在平面直角坐标系的图像关于直线 \(y = x\) 对称。换而言之，当 \(a>0, a\neq 1\) 的时候，指数函数和对数函数可以相互进行转化：

\[ a^y = x \Longleftrightarrow y = \log_a x \]

常用对数（Common Logarithm）是以数字 10 作为底的对数 \(\log_{10} x\)，可以简写为 \(\lg x\)：

\[ \log_{10} x \implies \lg x \]

自然对数（Natural Logarithm）则是以自然常数 \(e≈2.718281828\) 作为底数的对数：

\[ \log_e x \implies \ln x \]

建立功率与电压和电流的关系

根据欧姆定律 \(I = \frac{V}{R}\) 以及功率计算公式 \(P = I \cdot V\)，可以分别得到功率 \(P\) 分别与电压 \(V\) 以及电流 \(I\) 之间的换算关系：

\[ \begin{cases} I = \frac{V}{R} \\ P = I \cdot V \end{cases} \implies \begin{align} & P = \frac{V^2}{R} \\ & P = I^2 R \end{align} \]

推导电压分贝公式

假设当前存在两个不同的电压 \(V_2\) 和 \(V_1\) 分别作用在相同的负载电阻 \(R\) 上面，则可以推导出：

• 当负载电阻 \(R\) 相同，并且电压等于 \(V_1\) 时，此时功率的值等于 \(P_1 = \frac{V_1^2}{R}\)；
• 当负载电阻 \(R\) 相同，并且电压等于 \(V_2\) 时，此时功率的值等于 \(P_2 = \frac{V_2^2}{R}\)；

根据上述关系，进而就可以计算出 \(P_2\) 和 \(P_1\) 两个功率的比值：

\[ \frac{P_2}{P_1} = \frac{\frac{V_2^2}{R}}{\frac{V_1^2}{R}} = \frac{V_2^2}{R} \times \frac{R}{V_1^2} = \frac{V_2^2}{V_1^2} = \left( \frac{V_2}{V_1} \right)^2 \]

可以发现公式当中的负载电阻 \(R\) 被省略，说明只要两个电路的负载电阻相等，它们功率的比值就等于电压比值的平方。接下来，将这个功率的比值 \(\frac{P_2}{P_1} = (\frac{V_2}{V_1})^2\)，代入到上述功率分贝的定义 \(10 \log_{10}(\frac{P_2}{P_1})\) 当中：

\[ \text{dB} = 10 \log*{10} \left( \frac{P_2}{P_1} \right) = 10 \log*{10} \left( \left( \frac{V_2}{V_1} \right)^2 \right) \]

使用对数的运算法则 \(\log_b (x^y) = y \log_b (x)\) 进行化简，就可以推导出电压增益分贝的计算公式：

\[ \text{dB} = 10 \times \left[ \log_{10} \left( \left( \frac{V_2}{V_1} \right)^2 \right) \right] = 10 \times \left[ 2 \times \log_{10} \left( \frac{V_2}{V_1} \right) \right] = 20 \log_{10} \left( \frac{V_2}{V_1} \right) \]

推导电流分贝公式

类似于前面电压增益分贝公式的推导过程，假设当前存在两个不同的电流 \(I_2\) 和 \(I_1\) 分别通过相同的负载电阻 \(R\) 可以推导出：

• 当电流 \(I_1\) 通过相同的负载电阻 \(R\) 时，功率的值等于 \(P_1 = I_1^2 R\)；
• 当电流 \(I_2\) 通过相同的负载电阻 \(R\) 时，功率的值等于 \(P_2 = I_2^2 R\)；

根据上述关系，进而就可以计算出 \(P_2\) 和 \(P_1\) 两个功率的比值：

\[ \frac{P_2}{P_1} = \frac{I_2^2 R}{I_1^2 R} = \frac{I_2^2}{I_1^2} = \left( \frac{I_2}{I_1} \right)^2 \]

同样可以发现公式当中的负载电阻 \(R\) 被略去，说明只要两个电路的负载电阻相等，它们功率的比值就等于电流比值的平方。接下来，依然将这个功率的比值 \(\frac{P_2}{P_1} = (\frac{I_2}{I_1})^2\)，代入到上述功率分贝的定义 \(10 \log_{10}(\frac{P_2}{P_1})\) 当中：

\[ \text{dB} = 10 \log*{10} \left( \frac{P_2}{P_1} \right) = 10 \log*{10} \left( \left( \frac{I_2}{I_1} \right)^2 \right) \]

使用对数的运算法则 \(\log_b (x^y) = y \log_b (x)\) 进行化简，就可以推导出电流增益分贝的计算公式：

\[ \text{dB} = 10 \times \left[ \log_{10} \left( \left( \frac{I_2}{I_1} \right)^2 \right) \right] = 10 \times \left[ 2 \times \log_{10} \left( \frac{I_2}{I_1} \right) \right] = 20 \log_{10} \left( \frac{I_2}{I_1} \right) \]

电子学中的分贝总结

综上所诉，功率类的比值全部使用 \(10 \cdot log_{10}()\) 作为对数分贝公式，而在相同负载电阻 \(R\) 的前提下，涉及 电压 与 电流 等幅值类参数的平方关系比值，则使用 \(20 \cdot log_{10}()\) 作为对数分贝公式：

物理量	关系公式	分贝公式
功率 \(P\)	\(P = VI\)	\(10 \log_{10}(\frac{P_2}{P_1})\)
电压 \(V\)	\(P = V^2 / R\)	\(20 \log_{10}(\frac{V_2}{V_1})\)
电流 \(I\)	\(P = I^2 R\)	\(20 \log_{10}(\frac{I_2}{I_1})\)

分贝衍生的单位

除此之外，电子学当中还会经常使用到 dBm、dBW、dBu、dBV 等绝对分贝单位（固定的参考基准值），它们都是对数分贝的衍生单位，核心区别在于参考基准不同，其中 dBm 和 dBW 用于表征功率，而 dBu 和 dBV 用于表征电压，具体请参考下面两个表格：

功率绝对分贝单位	表征对象	参考基准值	核心公式
dBm	功率（分贝毫瓦）	使用 \(P_{ref}=1\ \text{mW}\) 作为功率基准	\(P(\text{dBm}) = 10\log\left(\frac{P(\text{mW})}{P_{ref}}\right) = 10\log\left(\frac{P(\text{mW})}{1}\right)\)
dBW	功率（分贝瓦）	使用 \(P_{ref}=1\ \text{W}\) 作为功率基准	\(P(\text{dBW}) = 10\log\left(\frac{P(\text{W})}{P_{ref}}\right) = 10\log\left(\frac{P(\text{W})}{1}\right)\)

电压绝对分贝单位	表征对象	参考基准值	核心公式
dBu	电压（分贝伏）	使用 \(U_{ref}=0.775\ \text{V}\) 作为电压基准	\(U(\text{dBu}) = 20\log\left(\frac{U(\text{V})}{U_{ref}}\right) = 20\log\left(\frac{U(\text{V})}{0.775}\right)\)
dBV	电压（分贝伏）	使用 \(U_{ref}=1\ \text{V}\) 作为电压基准	\(U(\text{dBV}) = 20\log\left(\frac{U(\text{V})}{U_{ref}}\right) = 20\log\left(\frac{U(\text{V})}{1}\right)\)